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数据结构

线性表

相同数据类型有序数列

线性表特点：

1、个数有限2、具有先后次序 3、都是数据元素，每个元素都是单个元素 4、数据类型相同 5、表中元素具有抽象性，讨论元素间逻辑关系。

就像是数组不是线性表，因为无序

顺序表插入$\frac{n}{2}$,删除$\frac{n-1}{2}$，按值查找$\frac{n+1}{2}$

栈、队列、数组

栈：卡特兰数：当n个不同的元素入栈时，出栈元素不同排列个数为$\frac{1}{n+1}C_{2n}^n$
栈：1）设栈顶元素S.top=-1 入栈时栈顶指针先加一再赋值
2）设栈顶S.top=0 入栈时先赋值再栈顶指针加一
栈：中缀表达式转后缀
遇到“操作数”直接添加到输出列表，遇到符号时：
左括号 (：压入操作符栈。
右括号 )：弹出栈顶运算符并添加到输出列表，直到遇到左括号。
运算符（+, -, , / 等）：比较当前运算符与栈顶运算符的优先级：
若栈为空或栈顶为 (：当前运算符压栈。
若当前运算符优先级高于栈顶运算符：压栈。
否则：弹出栈顶运算符到输出列表，重复比较直到满足压栈条件。
优先级规则：/ > +- > (（乘除高于加减，括号最低）
特殊矩阵的存储：对称矩阵存一半，按行存，
三角矩阵（剩下一般是同一常量），也是一样的按行存，但是在最后留一个位置存入常量的大小
三对角矩阵也是按行优先存储，稀疏矩阵存对应的三元组：i，j，aij

串

串最重要的应该是KMP算法吧

KMP算法：有主串长度n，模式串长度m，有简单模式匹配最多需要进行n-m+1次匹配，即：模式串最后一次正确匹配前每一个字符都要进行一次匹配
介绍KMP算法原理：“前缀”：除最后一个字符外，字符串的所有头部子串；“后缀”：除第一个字符外，所有的尾部子串；“部分匹配值”：字符串的前缀与后缀最长相等的前后缀长度
如“ababa”其部分匹配值为：‘a’：0；‘ab’：“a和b”相等长度为0；‘aba’：“a，ab”和“a，ba”相等长度为‘a’，1；‘abab’：‘a，ab，aba’和‘b，ab，bab’相等长度为2；‘ababa’相等长度为3
所以‘ababa’部分匹配值为00123
在KMP算法中，模式串右移的长度是“已匹配长度-对应的部分匹配值”
next数组的构建：部分匹配值加一后右移，
nextval数组：当$p_j=p_{next[j]}$时，即要跳转的字符和该字符一样，必然失配，所以要一直递归直至$p_j=p_{next[next[j]]}$，直至两者不相等为止

树与二叉树

树的性质
树的结点数 = 所有结点的度数之和+1
度为m的树中第i层最多有$m^{i-1}$个结点：高度为h的m叉树最多有$1+m+m^2+…+m^{h-1}=(m^h-1)/(m-1)$个结点
相对应的，度为m，具有n个结点的树的最低高度为$log_m(n(m-1)+1)$,最大高度为n-m+1
度：一棵树中结点的最大度数是树的度

二叉树

二叉树是有序树
满二叉树：高度为h，且有2^h-1个结点，即满结点的二叉树
完全二叉树：高度为h，有n个结点的二叉树，当且仅当其每个结点和高度为h的满二叉树相对应，称之为完全二叉树
二叉排序树：左子树所有结点均小于根结点，右子树所有结点均大于根结点
二叉平衡树：树中任意一结点左右子树高度差不超过1
正则二叉树，每个分支结点只有0或2个孩子
二叉树的性质：高度为h的二叉树最多有2^h-1个结点
具有n个结点的完全二叉树，其高度为$[log_2(n+1)]或[log_2n]+1$
二叉树顺序存储的话依照完全二叉树存储，有空着的位置写0；
链式存储：lchild|data|rchild；左右孩指针，易验证：n个结点的二叉树有n+1个空链域
二叉树遍历：先序遍历：中左右；中序遍历：左中右；后序遍历：左右中；层次遍历：队列
线索二叉树：若无左子树，令lchild指向其前驱结点；若无rchild，令rchild指向其后驱结点
线索二叉树的结点结构：lchild|ltag|data|rtag|rchild
当tag为0时child指向子结点，当tag为1时指向前后驱
前后驱的定义不是祖先这样的，而是遍历后的顺序，如中序遍历后‘BDAEC’则D的前驱是B，后驱是A，若D无左子树，则前驱指向B

树和森林

树的存储方法：
- 双亲表示法：data|parent，后面存的是该结点父节点的序号，可以很快的得到该结点的父结点，但是求结点的孩子需要遍历整个结构
- 孩子表示法：将每个结点的孩子结点视为一个线性表，且以单链表作为储存结构，则n个结点就有n个孩子链表。结构为$data \rightarrow first_child \rightarrow second_child$
- 孩子兄弟表示法：也称二叉树表示法；结构为：指向第一个孩子的指针|结点值|结点右兄弟的指针
树转化成二叉树：在兄弟结点间加一条线，对每个结点，只保留和第一个孩子的连线
森林转化成二叉树：先将每棵树转化成二叉树，然后将第二课树接在成第一颗树的右子树上
二叉树转换成森林：将根的右子树断开，然后树转二叉树

哈夫曼树和哈夫曼编码

哈夫曼树：选取所有中最小的两位组成一个二叉子树。
哈夫曼编码：左分支为0，右分支为1，由此必得到前缀编码

哈夫曼编码我印象中唯一的要记住的是：例如5 9 12 13 16组成是5+9=14；后不一定是必须要14和其他的数字组合，而是12和13组合

并查集：通过树来实现集合的合并和遍历根是否一致来判断是否是同一个集合

图

简单路径：顶点不重复出现的路径称之为简单路径
简单回路：出最后一个顶点和第一个顶点以外其余顶点不重复出现的回路称之为简单回路
距离：最短路径的长度
子图和生成子图：子图可以是原图中少几个顶点组成的图；生成子图的顶点必须和原图的顶点数一致
连通图；连通分量：图G中任意两个顶点都是连通的，称G为连通图；无向图中的极大连通子图称之为连通分量；连通分量不唯一；
强连通图；强连通分量：有向图中任意两个顶点都是连通的；有向图的极大强连通子图称之为强连通分量
生成树：包含图中全部顶点的极小连通子图
完全图：对于无向图，边的数量为0-n(n-1)/2之间，对于有向图，边的数量从0-n(n-1)之间，有最大数量的边的图是完全图
有向树：一个顶点的入度为0，其余顶点的入度均为1的有向图称为有向树

图的储存

邻接矩阵：$A[i][j]=1:(v_i,v_j)$是E（G）中的边；对于带权图来说，指$A[i][j]=w_{ij}$
- 有邻接矩阵为A，$A^n$的元素$A^n[i][j]$等于有顶点i到顶点j的长度为n的路径的个数
- 邻接矩阵适用于稠密图：即满足边的数量E>|V|log2|V|
邻接表法：
- 邻接表法适用于稀疏图，即边相对较少
- 顶点$|DATA|firstarc|\rightarrow$依附于顶点的边（有向图指从这个顶点出发的边）
- 无向图储存空间O（V+2E），有向图O（V+E）
十字链表：
十字链表是用来储存有向图的
十字链表的结构分为顶点结点和弧结点，顶点结点的结构是：data；firstin；firstout，分别是顶点名称，以该顶点为弧头的第一条弧（随意）和以该顶点为弧尾的第一条弧
弧结点的结构是：tailvex；headvex；hlink；tlink；（info）前两个分别存放弧尾和弧头这两个定点的编号；后两个分别指向弧头相同的下一条弧和弧尾相同的下一条弧
邻接多重表：
- 邻接多重表是用来储存无向图的

我感觉就是顶点先指向一个依附于该顶点的边，然后在通过这个边结点指向其他有关于这个顶点的边；十字链表是指向同时以该顶点为出度/入度的边，邻接多重表则是和这顶点有连接就ok

图的遍历

广度优先搜索(BFS)：首先访问顶点v，然后依次访问未访问过的邻接顶点，直至图中所有顶点全部被访问过为止；如果依然有顶点未被访问，则另选一个未被访问过的顶点开始重复上述过程
- 广度优先生成树：图的邻接矩阵唯一，所以其邻接矩阵的广度优先搜索树唯一；图的邻接表不唯一，所以邻接表的广度优先搜索树不唯一

广度优先生成树依赖于广度优先搜索的顺序，由于邻接矩阵其链表的自由的性质其搜索的顺序不唯一，所以其广度优先生成树不唯一

深度优先搜索（DFS）：首先访问一起始顶点v，然后由v出发访问与v邻接但是未被访问的顶点w；重复上述，直到不能访问时依次退回到最近被访问的顶点，若其还有邻接顶点未被访问，则从该点开始继续重复上述搜索过程。
图的遍历与图的连通性：对于无向图来说，若仅需一次遍历就可以访问图中全部顶点，则无向图是联通的；对于有向图来说，正向图遍历一次加反向图遍历一次

图的应用

最小生成树

最小生成树：带权连通无向图中权值最小的生成树称之为最小生成树
- Prim算法：先选择任一顶点加入顶点T集合，然后选择一个与顶点T集合最近的未在集合T中的顶点和相应的边加入该顶点。以此类推
- Kruskal算法：初始只有n个顶点，此时每个顶点自成一个连通分量，选择权值最小的边必须落在两个不同的连通分量中（使用并查集查询是否同一个顶点）

最短路径

最短路径：两点中权值最短路径
- Dijkstra算法：(求某一点到其他点路径)
  首先维护一个表，格式为:|结点|出发点|前结点|
  第一步:从0(出发点)开始更新周围一步能到的结点;
  第二步:选取未被标记中权重最近的结点标记;
  第三步:从这个标记的节点出发更新一步能到的结点,如果有结点权重小于现在存储的权重则更新;
  第四步:从未被标记中选取权重最近的结点标记
  第五步:以此类推
- Froyd算法:(求任意两点最短路径)
  - 第k轮:第k行和第k列和主对角线元素不变
  - 对应行列值相加和现有的比较,取小
    例如 $$0 1 2 5\\infty 0 2 4\3 9 0 \infty\\infty 6 \infty 0$$经过第一步的更新后变成
    $$0 1 2 5\\infty 0 2 4\3 4 0 8\\infty 6 \infty 0$$
    最后有几个顶点就更新几次,最后算出的是任意两点间最短距离

算法	无权图	带权图（非负权）	带负权图（无负权回路）	带负权回路图
BFS	$O(V + E)$	不适用	不适用	不适用
Dijkstra	$O((V+E) \log V)$	$O((V+E) \log V)$	不适用	不适用
Floyd	$O(V^3)$	$O(V^3)$	$O(V^3)$	不适用（可检测负环）

拓扑排序

AOV网:若用有向无环图表示一个工程,其顶点表示活动,有向边<vi,vj>表示vi必须先于vj的这样一种关系.则将这种有向图称之为AOV网
拓扑排序:在一个有向无环图中,由一个有向无环图的顶点组成的排序,当且仅当满足
1. 每个顶点只出现一次
2. 若顶点A在序列中排在B的前面,则在图中不存在从B到A的路径
拓扑排序的方法:从AOV网中选择一个入度为0的点,并输出;然后删除和这个点有关的所有有向边;重复
拓扑排序时间复杂度:
邻接表O(V+E),邻接矩阵O(V^2)

关键路径

在带权有向图中,顶点表示事件,有向边表示活动;边上的权值表示完成该活动所需的事件.称之为AOE网(不是AOV网)AOV网的边上没有权重
关键活动指一个活动的最迟开始时间和其最早开始时间一致的活动
关键路径:所有的关键活动构成关键路径

查找

顺序查找

简单的从一头查找到另一头
平均成功查找长度:定位第i个元素时,$ASL_{成功}=\frac{n+1}2$
平均失败查找长度:$ASL_{失败}=n+1$

有序线性表的顺序查找

有序线性表的顺序查找的平均成功查找长度和上述一致
有序线性表的顺序查找的平均失败查找长度:当第i个小于关键字,第i+1个大于关键字时,可以直接判断查找失败,$ASL_{不成功}=\frac n2+\frac n{n+1}$

折半查找

仅适用于有序表
将定值和中间比,然后查其他两半
折半查找选取中间结点时,既可以采取向上取整,也可以采取向下取整,但每次查找的取整方式必须相同
可以构成折半查找判定树
平均查找成功长度为$\frac{n+1}{n}log_2(n+1)-1≈log_2(n+1)-1$

分块查找

块内元素可以无序,但是块间元素有序,即第一块中的最大关键词小于第二个块中所有关键字.有索引表,包含各块最大关键字和第一个元素地址.
第一步是索引块中折半或顺序,然后在块内顺序查找
长度为n的查找表均匀的分为b块,每块有s个,都顺序查找,$ASL=\frac{b+1}2+\frac{s+1}2 =\frac{s^2+2s+n}{2s}$当且仅当s=$\sqrt n$时平均查找长度最小为$\sqrt n+1$

树形查找

二叉排序树

二叉排序树是为了方便插入和删除而不是为了检索
大小排序:左根右
二叉排序树的删除:
- 叶结点直接删除
- z只有一个左子树或右子树,则让子树替代z的位置
- 有左右两棵子树,则令z的直接前驱(或直接后驱替代)z,然后从二叉排序树中删去这个直接前驱(后驱)

二叉平衡树

定义:左子树和右子树的高度差相差不超过1
插入:插入后调整

红黑树

B树和B+树

Hash

将查找表中的关键字映射成该关键字对应的地址的函数
冲突:有可能会把两个及以上的关键字映射成同一个地址

Hash的构造方法

直接定址法:$H(key)=a*k+b$,这种方法不会冲突,但是当关键字分布不连续,空位较多,会造成空间的浪费
除留余数法:$H(key)=key \% p$ 假设散列表表长为m,则选取一个不大于m单最接近或等于m的质数p
数字分析法:设关键字是r进制数,r个数码在各位上出现的频率不一定相同,选取数码较为均匀的若干位作为散列地址,
平方取中法:取关键字平方后中间几位作为散列地址

Hash的处理冲突方法

开放定址法：表中的空闲地址开放，递推公式：$(H(key)+d_i)% m$其中$d_i$有下面四种取法
1. $d_i$=n
2. $d_i=1^2,-1^2,2^2,-2^2…,n^2,-n^2$
3. $d_i=i×Hash_2(key)$此方法需要两个哈希函数
4. $d_i=伪随机数列$
拉链法:所有的同义词存在一个线性链表中,这个线性链表尤其散列地址作为唯一标识
装填因子:$\alpha = \frac{表中记录数n}{散列表长度m}$

排序

插入排序

直接插入排序:查找前面的待插入位置k, 将有序序列中的待插入位置k后所有元素后移一个位置,将i复制为k.
- 空间复杂度为O(1),时间复杂度O(n²),具有稳定性,即不会出现同一个位置相同元素位置发生变化.适用于链表和顺序表表
折半插入排序:和直接插入排序的区别就是，直接插入排序是顺序查找，而折半插入是折半查找。插入的操作一致
- 空间复杂度O(1),时间复杂度O(nlogn),稳定,只适用于顺序表
希尔排序:先取一个小于增量$d_1$,把表中的数据分成$d_1$组,所有距离$d_1$的倍数的记录放在同一组,在各组内进行直接插入排序;在去第二个$d_2< d_1$,重复上述过程,直到d=1.最后直接进行一轮直接插入排序
- 空间复杂度O(1),时间复杂度$O(n^{1.3})$,不稳定,只适用于顺序表

交换排序

冒泡排序:从后往前(或从前往后)两两比较相邻元素的值,若为逆序,则交换他们,直到最后一次没有交换
- 空间复杂度:O(1),时间复杂度:$O(n^2)$,稳定,,适用于顺序存储和链式存储
快速排序:首先选择一个元素作为枢轴，将这个元素的值保存。将这个元素的位置视作空位。头尾指针ij。首先从j开始往前找，找到元素小于枢轴，和枢轴换位置。在从i开始找元素大于枢轴的，在和枢轴换位置。直到i=j
- 空间O(1),时间最好$O(log_2n)$,最坏$O(n^2)$,平均$O(nlog_2n)$,不稳定,仅线性表.

选择排序

简单选择排序:第i趟排序和L(i)换位置,这样n-1轮即可获得排序
- 空间O(1),时间$O(n^2)$,不稳定,链表和线性表都适用
堆排序:
- 堆的定义:1)L(i)≥L(2i)且L(i)≥L(2i+1)或2)L(i)≤L(2i)且L(i)≤L(2i+1);第一种叫大根堆,第二种叫小根堆;即任意非根结点小于等于其双亲结点和任意非根结点大于等于其双亲结点
- 堆排序的思路:堆满足根是极值,输出根后继续调整堆使其满足大小根堆
- 堆的初始化:从后往前处理,根和左右子结点进行交换选出符合要求的.
- 堆的删除,输出根后,将根和最后一个元素交换,然后调整堆
- 空间O(1),时间O(nlog2n)不稳定,只适用于顺序表

二路归并排序

有n个数据的表,视作n个子表,两两归并合成n/2个有序表;继续两两归并

归并的方法,由于是有序表归并,则设置两个指针,较小的一个输出并指针后移
空间O(n),时间O(nlog2n),稳定,适用于链表和有序表

基数排序

不基于比较和移动进行排序,而是基于关键字的大小进行排序

几进制就创造几个桶，首先从第一位开始，放入对应的桶中，在从1-10的顺序依次拿出。再根据第二位放入对应的桶中，重复上述。最大位数是几位就进行几轮
空间O(r),时间O(d(n+r)),d是最大位数,n是关键字个数,r是进制;稳定,适用于链表和线性表

外部排序

前面都是内部排序,指数据都在内存中,文件常常是按块存储在磁盘中的,磁盘读写的机械动作往往时间远远超过在内存中进行运算的时间,所以外部排序主要考虑访问磁盘的次数,即I/O次数

归并排序算法

首先将所有的数据均分为k个初始归并段，此时将所有的归并段输入到内存中，将初始归并段排序成段内有序，此时I/O操作经历一次
在经历log2k次归并排序,最后生成最终结果.最后经历$(log_2k+1)n(n为数据块的数量)$次

多路归并排序与败者树

因为当k一旦增多,二路归并排序就需要进行多轮,增加了I/O次数,此时增加归并路数就可以减少归并趟数从而减少I/O次数
但是归并路数增多会导致每输出一个元素，都需要在 K 个元素中找到一个最小值。如果使用简单的线性比较，每次比较需要 K-1 次操作，总时间复杂度为 O(K*N)，当 K 很大时，CPU比较会成为瓶颈。这时就需要通过败者树进行
败者树实现:K个顺串组成叶结点,内部节点存储的是失败者,胜利者一直往根走,哪里胜出哪里从顺串补充.

置换-选择排序

堆排序,先输出最小的到输出队列;如果后来的小于之前输出最小的,把这个后来的最小的冻结留到下一个输出队列输出.

最佳归并树

实现最佳归并树需要补充的虚段数:8个归并段进行3路归并:(8-1)%(3-1)=1
手法类似于哈夫曼树

计算机组成原理

操作系统

计算机网络

高等数学

函数极限与连续

常用极限

$$ \lim_{x\rightarrow0}{e^x-1} = x$$
$$ \lim_{x\rightarrow0}{(1+x)^n-1} = x$$
$$ \lim_{x\rightarrow0}{1-\cos x} = \frac12x^2$$
$$ \lim_{x\rightarrow0}{ln(x+1)} = x$$
$$ \lim_{x\rightarrow0}{x-ln(1+x)=\frac12x^2}$$
$$ \lim_{x\rightarrow0}{e^x-1} = x$$
yssy,泰勒公式还是太权威了,上述的可以用泰勒公式很快的推导出来,但是一些加减的还是需要泰勒公式

泰勒公式(在0处)

$$f(x)=f(0)+f’(0)x+\frac{f’’(0)}{2!}x^2+\frac{f’’’(0)}{3!}x^3+o(x^3)$$

题目总结

判断$x\rightarrow\infty 时要确认正负无穷的情况,若正负无穷不相等,则不存在$
$2^t-3^t = 3^t((\frac{2}{3})^t-1)=3^ttln\frac23$
求$f(x)^{g(x)}可以变换成g(x)lnf(x)在换成g(x)ln{((f(x)-1)+1)}$在f(x)-1趋于0时,有g(x)(f(x)-1)=lny
最后记得y要变成e^{g(x)(f(x)-1)}
遇到$\sqrt{1+\tan x}±\sqrt{1+\sin x}$这样形式的,考虑$\frac{(1+\tan x)-(1+\sin x)}{\sqrt{1+\tan x}±\sqrt{1+\sin x}}$,即平方差公式
求$\lim_{x\rightarrow\infty}ln(1+2^x)$看着很像ln(1+x)=x但是这个前提是x趋于0,于是$ln(1+2^x)$可以化简成$ln(2^x(2^{-x+1}))$即$xln2+2^{-x}$后者趋于0,原式=$xln2$。~~也算是ln(1+x)的变种吧~~
另一个和上面相似的题目:$\lim_{x\rightarrow0}(\cos x+\sin x)^{\frac{1}{2x}}$化简成:$\frac{1}{2t}ln(cosx+sinx)$到这里变成$\frac{ln(cosx+sinx)}{2t}$然后洛必达可得最后结果
求多次泰勒多项式:求出各个函数对应到某一个级别的泰勒多项式相乘,取对应的o(x)即可
arcsinx 泰勒公式:$x+\frac{x^3}{6}+o(x^3)$

间断点

是无定义的点

第一类间断点也叫有限型间断点，其特点是左右极限均存在.
- 可去间断点:左极限，右极限存在且相等
- 跳跃间断点:左极限和右极限均存在，但不相等。
第二类间断点左右极限至少有一个不存在。注：除了第一类间断点其余均为第二类间断点
- 无穷间断点:在该点可以无定义，且左右极限至少有一个不存在，且改函数在该点极限为∞。
- 震荡间断点:在该点可以无定义，当自变量趋于该点时，函数值再两个常数之间变动无限多次。此时左右极限均不存在。

数列极限

考虑洛必达,日了,张宇第一题居然是硬洛必达

$\sqrt[n]{a^n+b^n}=max(a,b)$
有大于小于可以考虑夹逼准则

微分中值定理

有一道经典例题

给定数列 $x_n$ 满足递推关系 $x_{n+1} = f(x_n)$，其中函数 $f$ 可导，且存在唯一的 $a$ 满足 $f(a) = a$，同时对任意 $x$，有 $|f’(x)| \leq k < 1$。需要证明序列 $x_n$ 收敛于 $a$。

证明：

设 $e_n = x_n - a$ 表示第 $n$ 项与不动点 $a$ 的误差。由于 $a$ 是 $f$ 的不动点，即 $f(a) = a$，有：
$x_{n+1} = f(x_n), \quad x_{n+1} - a = f(x_n) - f(a).$
由微分中值定理，在 $x_n$ 与 $a$ 之间存在一点 $c_n$ 使得：
$f(x_n) - f(a) = f’(c_n)(x_n - a).$
因此：
$x_{n+1} - a = f’(c_n)(x_n - a).$
取绝对值并利用条件 $|f’(x)| \leq k < 1$：
$|x_{n+1} - a| = |f’(c_n)| \cdot |x_n - a| \leq k |x_n - a|.$
即：
$|e_{n+1}| \leq k |e_n|.$
迭代上述不等式：
$|e_n| \leq k |e_{n-1}| \leq k^2 |e_{n-2}| \leq \cdots \leq k^n |e_0|.$
其中 $e_0 = x_0 - a$。由于 $k < 1$，有 $\lim_{n \to \infty} k^n = 0$，因此：
$\lim_{n \to \infty} |e_n| = 0,$
即 $\lim_{n \to \infty} x_n = a$。
综上，序列 $x_n$ 收敛于唯一不动点 $a$。
$
\boxed{\text{序列 } x_n \text{ 收敛于 } a}
$

积分微分

$tanx’=sec^2x$

一、基本积分

幂函数
$$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)$$
分式
$$\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$$
指数函数
$$\int e^x dx = e^x + C$$
$$\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \quad (a>0, a\neq1)$$
三角函数
$$\int \sin x dx = -\cos x + C$$
$$\int \cos x dx = \sin x + C$$

二、正切与余切积分

正切函数
$$\int \tan x dx = -\ln|\cos x| + C = \ln|\sec x| + C$$
余切函数
$$\int \cot x dx = \ln|\sin x| + C = -\ln|\csc x| + C$$
正割相关
$$\int \sec x dx = \ln|\sec x + \tan x| + C$$
$$\int \sec^2 x dx = \tan x + C$$
$$\int \sec x \tan x dx = \sec x + C$$
余割相关
$$\int \csc x dx = -\ln|\csc x + \cot x| + C$$
$$\int \csc^2 x dx = -\cot x + C$$
$$\int \csc x \cot x dx = -\csc x + C$$

三、平方形式积分

平方差形式
$$\int \frac{1}{a^2 - x^2} dx = \frac{1}{2a} \ln \left| \frac{a+x}{a-x} \right| + C \quad (|x|<|a|)$$
$$\int \frac{1}{1 - x^2} dx = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{1+x}{1-x} \right| + C = \tanh^{-1} x + C$$
平方和形式
$$\int \frac{1}{a^2 + x^2} dx = \frac{1}{a} \arctan\frac{x}{a} + C$$
平方根形式
$$\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx = \arcsin\frac{x}{a} + C \quad (|x|<|a|)$$
$$\int \frac{1}{\sqrt{a^2 + x^2}} dx = \ln \left| x + \sqrt{x^2 + a^2} \right| + C$$

四、其他重要积分

二次根式
$$\int \sqrt{a^2 - x^2} dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2} \arcsin\frac{x}{a} + C$$
$$\int \sqrt{x^2 \pm a^2} dx = \frac{x}{2} \sqrt{x^2 \pm a^2} \pm \frac{a^2}{2} \ln \left| x + \sqrt{x^2 \pm a^2} \right| + C$$
分式分解
$$\int \frac{1}{x^2 - a^2} dx = \frac{1}{2a} \ln \left| \frac{x-a}{x+a} \right| + C \quad (|x|>|a|)$$
$$\int \frac{1}{(x-a)^n} dx = -\frac{1}{(n-1)(x-a)^{n-1}} + C \quad (n \neq 1)$$

五、其他重要公式

$\arctan a -\arctan b =\arctan{\frac{a-b}{1+ab}}$
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB
2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)
万能代换:$t=tan\frac{x}{2},sinx=\frac{2t}{1+t^2},cosx=\frac{1-t^2}{1+t^2}dx=\frac{2}{1+t^2}$

一元函数微分学

导数的定义：$\frac{f(x-\Delta)-f(x)}{\Delta}$
偏导数:隐函数(由$y=xy+y^3$类似得到的y=f(x)),有化成$F(x)=xy-y+y^3$,然后$$y’=-\frac{F_x’}{F_y’}$$
其实隐函数还有一个常用解法:两边对x求导,

当让你求具体某一个点的一阶导数二阶导数时,往往是这个两边求x导更加快捷

一元函数微分学-几何应用

注意题目中说的是”*极值点<0”*还是”极值<0“
$xlnx$在x趋于1时趋于0,可以把$xlnx$化成$\frac{lnx}{\frac1x}$后洛必达解决
拐点:指f’’(x)在该点两边变号,即使该点无定义/不存在,也是拐点
曲率$$k=\frac{|y’’|}{(1+y’^2)^{\frac32}}$$或者x,y以t表示时$$k=\frac{|x’y’’-y’x’’|}{(x’^2+y’^2)^{\frac32}}$$
曲率圆半径是曲率的倒数
曲率中心的计算为:
$对于(x_0,y_0),有x=x_0-\frac{y’(1-y’^2)}{y’’},y=y_0+\frac{(1-y’^2)}{y’’}$
如果有曲率圆方程,说曲率圆方程在这一点上和f(x)近似,可以求泰勒近似$f(x_0)=f(x_0)+\frac{f’(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f’’(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+o(x^2)$
斜渐近线:若有y=ax+b,$a=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{f(x)}{x},b=\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)-ax$,看平行渐近线有:$\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)$

一元函数微分学-中值定理，微分等式与不等式

拉格朗日中值定理：$f(a)-f(b)=f’(\xi)(a-b)$
$\lim_{x\rightarrow0}(1+x)^b=1+bx$(原理是二项式展开)
遇到没说连续可导但是有导数时考虑导数的定义
拉格朗日余项:$o(x^n)$换成$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x - a)^{n+1}$
当$f’’’(x)=0$无实根,则$f’’(x)$最多有1个实根;$f’(x)$最多有2个实根;$f(x)$最多有个3实根,具体有没有可以赋值看x在具体值时f(x)的大于小于
有没有实根,是不是至少有一个实根,考虑罗尔定理:如果 R 上的函数f(x)满足以下条件：（1）在闭区间[a,b]上连续，（2）在开区间(a,b)内可导，（3）f(a)=f(b)，则至少存在一个ξ∈(a,b)，使得f’(ξ)=0。构造f(x)=f’(ξ)。
柯西中值定理：设函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 满足以下条件：闭区间连续,开区间可导,分母导数非零：对任意 $x \in (a, b)$，有 $g’(x) \neq 0$；

则在开区间 $(a, b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使得：
$$
\frac{f’(\xi)}{g’(\xi)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}
$$
或等价写成：
$$
\left[ f(b) - f(a) \right] g’(\xi) = \left[ g(b) - g(a) \right] f’(\xi)
$$

一元函数微分学-物理应用

求变化率：一般是函数两边对t求导，化成两个变量对t求导的关系，已知其中之一，另外一个带入数值可解

一元函数积分学

一元函数积分学的概念和性质

积分定义：让你求$lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^n{f(k,n)}$要化简成$\frac{k}{n}$,这个就是x在(0,1)上的微分.代换可解
要和1比较积分大小时,若原式是$\frac{a}{b}$可以考虑a-b和0的关系
反函数的导数是原函数导数分之一
复合函数只有外奇内奇整体才是奇函数
函数是否发散:$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)$是否发散:$\int_{-\infty}^{0}f(x)$和$\int_{0}^{+\infty}f(x)$是否等与0
函数发散也可以通过比较判断:$\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x}$收敛,$e^{-x}$>$e^{-x^2}$,$\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}$也收敛
$\int_{0}^{1}\frac{x}{ln^2(1+x)}$和$\int_{0}^{1}\frac{x}{x^2}$和$\int_{0}^{1}\frac{1}{x}$同敛散

一元函数积分学的计算

对于$\frac{1}{(t-1)(t+1)^2}$的化简.有原式=$\frac{A}{(t-1)}+\frac{B}{(t+1)}+\frac{C}{(t+1)^2}$
变上限积分：$\int_{-x}^xf(t+x)dt$不能直接把t换成x带入,要令$u=t+x$上式变成$\int_0^{2x}f(u)du$,他的导数就是$2f(2x)$
$\int^{x-y}e^tdt$对x求偏导是$e^{x-y}$但是对于y求偏导是$-e^{x-y}$
判断积分也好导数也好函数也好是否连续,通过定义$$\frac{f(\Delta)-f(x)}{\Delta-x}$$和在该点的导数来判断在该点是否相等
切记$\sqrt{x^2}=|x|$
求积分时,考虑积分上下限对于被积函数的影响.有可能需要截断上下限变成两个函数求积分
有$F(x)=\int_2^xf(x)$,就有隐含条件:$F(2)=0$
$(\sqrt{x^2-1}-x)^2=\frac{1}{(\sqrt{x^2-1}+1)^2}$
常用变换:令t=1/x
$(arcsinx)’=\frac{q}{\sqrt{1-x^2}}$,$(arccosx)’=-\frac{q}{\sqrt{1-x^2}}$

多元函数微分学

方向导数
设函数$f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$初可微,则函数$f(x,y)$在点$P_0$处沿任⼀⽅向L的⽅向导数都存在，方向导数为

$\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0) \cos \alpha + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0) \cos \beta$

其中$\alpha,\beta$是⽅向L的⽅向余弦。
方向导数的原始定义：$$\lim_{h \to 0} \frac{f(\mathbf{a} + h\mathbf{u}) - f(\mathbf{a})}{h}$$(沿某某方向记得要归一化成长度是一)
$$$$
梯度
与梯度⽅向相同的⽅向上的⽅向导数值最⼤
全微分
- 有z(x,y)的全微分
  $dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy$
  $$\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial z}}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{\frac{\partial F}{\partial y}}{\frac{\partial F}{\partial z}}$$(隐函数)
- 全微分方程通解是全微分求积
- 在高等数学中，若被积表达式 $ P dx + Q dy $ 是某个函数的全微分，即存在函数 $ u(x, y) $ 使得：
  $
  du = \frac{\partial u}{\partial x} dx + \frac{\partial u}{\partial y} dy = P dx + Q dy
  $
  则曲线积分与路径无关，且积分值等于 $ u(x, y) $ 在终点与起点的函数值之差：
  $
  \int_L P dx + Q dy = u(x_1, y_1) - u(x_0, y_0)
  $
旋度

最下面是向量Pi+Qj+Rk中的PQR
梯度散度
质心
求质⼼坐标即以坐标为权重对质量求平均。例如
多元函数极值问题
hessian矩阵: 对x偏导平方乘以对y偏导平方-对x,y二阶导的平方
转动惯量:
$I_z=\int_C(x^2+y^2)dm=I_z=\int_C(x^2+y^2)\rho ds$
极值:二元函数极值满足:$\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=0$,$\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}=0$
且在该点有$A=\frac{\partial^2f}{\partial x^2};B=\frac{\partial^2f}{\partial xy};C=\frac{\partial^2f}{\partial y^2}$
满足:
$AC-B^2<0$无极值,
$AC-B^2>0,A>0$该点极小值,
$AC-B^2>0,A<0$该点极大值
像是知道x=x(t)也知道$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{t}$计算$$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\frac{\frac{dy}{dx}}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$$
切平面
有$\frac{\partial F}{\partial x}(x - x_0) + \frac{\partial F}{\partial y}(y - y_0) + \frac{\partial F}{\partial z}(z - z_0) = 0$
已知$f_x’(x,y)$,y关于x的函数和隐函数$f(x,y)=0$;想到对两边同时对x求偏导数

微分方程

基础概念

什么是积分曲线：
积分曲线就是一个微分方程满足条件的通解在坐标系中的表示
齐次方程
形如$y’+P(x)y=Q(x)$的微分方程
有通解
$y=e^{-\int P(x)dx}(\int Q(x)e^{\int {P(x)dx})}dx+C)$
如果$\frac{dy}{dx}$求不出来,不妨试试$\frac{dx}{dy}$
伯努利方程
有$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^n$
设$z=y^{1-n}$,就可以化成齐次方程求解
常系数齐次微分方程的解
只介绍根为虚数的情况有$y’’-2y’+5y=0$根为$1±2i$有$\alpha=1,\beta=2;解为e^{\alpha x}(C_1cos\beta x+C_2sin\beta x)$
常系数非齐次微分方程的解
这个地方我自己如果是纯y''+py'+qy=P_m(x)e^x我自己搞不懂,于是就举个例子说明
$y’’+y’-2y=2e^x$求通解
首先化成$y’’+y’-2y=0$有$r_1=1,r_2=-2$
有齐次通解:$y=C_1e^x+C_2e^{-2x}$,
然后设非齐次微分方程特解为$Q_m(x)x^ke^{\lambda x}$
有$Q_m(x)$是最高次幂与$R_m(x)$相同的多项式,
$k=0(\lambda ≠ r_1,r_2 );k=1(\lambda = r_1或r_2 );k=2(\lambda = r_1=r_2 )$
上述特解为$$Axe^{x}$$
如果一开始的式子是2xe^x,则特解是(Ax+B)xe^{x}
最后求导代入到一开始的式子中:
$特解:\frac23xe^x$
$通解:y=C_1e^x+C_2e^{-2x}+\frac23xe^x$

多重积分

二重积分

极坐标

其中$x=rcos\theta,y=rsin\theta,后面加上rdrd\theta$
二重积分中值定理:f(x,y)任意一点$(\xi,\mu)$有$\iint_Df(x,y)d\sigma=S_Df(\xi,\mu)$,$S_D$是该二重积分所围成的闭区间的面积
x+y≥sin(x+y)//x≥sinx

三重积分

柱坐标
球坐标

$dV = \rho^2sin\phi d\rho d\phi d\theta$

曲线积分:

第⼀型曲线积分
格式为$x=u(t),y=v(t)$
曲线积分为:

闭合曲线积分:

平面曲线:
空间曲线:

曲面积分一般形式:

曲面积分一般形式

闭合曲面积分

拉格朗日

适用于有限制条件的求最小值
$F(x,y,z,\lambda)=F(x,y,y)+\lambda(限制条件)$
对上述四个求导并=0,得到结果即是节点

无穷级数

分为序列级数和数列级数,总而言之都是证明两种级数最后都收敛于一个值
序列收敛的辨别方法:
1 单调有界性(单调递增且有上界或是单调递减且有下界)
2 夹逼定理
3 柯西准则:对任意$\epsilon>0,$存在N使得所有$m,n≥N,有|a_m-a_n|<\epsilon$
级数收敛的判断:
1 比值审敛法:若为正项级数,$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}<1$收敛
2 根植审敛法:$\sqrt[n]{u_n}<1$收敛
3 对于交错级数,有莱布尼茨判别法:$u_n≥u_{n+1}$且$u_n在无穷时趋于0$

等比数列$\sum_{n=1}^\infty aq^{n-1}$当q的绝对值<1时,收敛于$\frac1{1-q}$,>1发散
调和级数$\frac1n$发散
p级数$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^p}$当p>1收敛,p≤1时发散
收敛域:$\lim_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_{n-1}}{a_n}|=\rho$
那么幂级数收敛半径为$\frac{1}{\rho}=\lim_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_{n}}{a_{n-1}}|$
如果$\sum a_n^{2n}$收敛,则$\sum a_n^{2n+1}$绝对收敛
收敛定理:无穷级数收敛于两边的绝对值,例如$f(\frac{1}{2}^+)=1,f(\frac{1}{2}^-)=3,则f(1/2)=2$
要注意无穷级数展开的首项,例如ln(1+x)如果从n=1开始展开,就要考虑n=0的情况.
有$f(x)=\int f’(x)dx$,比如
$$\sum{\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{2n+1}}=\sum\int_0^x({\frac{(-1)^nt^{2n+1}}{2n+1}})’dt=\sum\int_0^x(-1)^nt^{2n}dt=\int_0^x\sum(-1)^nt^{2n}dt=\int_0^x\frac{1}{1+t^2}dt=arctanx$$
常用展开:
$$ e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \quad (-\infty < x < \infty) $$
$$ \frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n \quad (-1 < x < 1) $$
$$ \frac{1}{1+x} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n \quad (-1 < x < 1) $$
$$ \sin x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \quad (-\infty < x < \infty) $$
$$ \cos x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} \quad (-\infty < x < \infty) $$
$$ \tan^{-1} x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} \quad (-1 \leq x \leq 1) $$
$$ \ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n} \quad (-1 < x \leq 1) $$
$$ \ln(1-x) = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n} \quad (-1 \leq x < 1) $$

傅里叶级数

$$ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos \frac{n\pi x}{L} + b_n \sin \frac{n\pi x}{L} \right) $$
其中
$$ a_0 = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) dx $$
$$ a_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \cos \frac{n\pi x}{L} dx \quad (n \geq 1) $$
$$ b_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \sin \frac{n\pi x}{L} dx \quad (n \geq 1) $$

余弦级数:$$ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos \frac{n\pi x}{L} $$
其中
$ a_0 = \frac{2}{L} \int_{0}^{L} f(x) dx $
$ a_n = \frac{2}{L} \int_{0}^{L} f(x) \cos \frac{n\pi x}{L} dx \quad (n \geq 1) $
正弦级数:$$ f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin \frac{n\pi x}{L} $$
其中
$ b_n = \frac{2}{L} \int_{0}^{L} f(x) \sin \frac{n\pi x}{L} dx \quad (n \geq 1) $

线性代数

行列式

$$\begin{matrix} & & & a_{1,n} \ & & a_{2,n-1} & \ & … & \ a_{n,1} & & \end{matrix}$$的值为$$(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}a_{1,n}a_{2,n-1}…a_{n,1}$$
范德蒙德行列式
$$\begin{matrix}
1&1&1&…&1\
x_1&x_2&x_3&…&x_n\
x_1^2&x_2^2&x_3^2&…&x_n^2\
…&…&…&…&…\
x_1^n&x_2^n&x_3^n&…&x_n^n\
\end{matrix}$$
值为$$\prod_{1≤i≤j≤n}(x_j-x_i)$$

矩阵

行最简矩阵,要求非零行首元均为0;非零行首元所在列其他元素均为0
行列式行列式,像是3×1矩阵,3是行,1是列,像是(1,2,3)^T

转置矩阵

$$(kA)^T=kA^T$$
$$(A+B)^T=A^T+B^T$$
$$(AB)^T=B^TA^T$$

伴随矩阵

$$AA^*=A^*A=|A|E$$
$$|A^*|=|A|^{n-1}$$
$$(AB)^*=B^A^$$

逆矩阵

$$(kA)^{-1}=\frac1kA^{-1}$$
$$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$$

分块矩阵

-
$$\begin{matrix}
O&A\
B&O\
\end{matrix}^{-1}=\begin{matrix}
O&B^{-1}\
A^{-1}&O
\end{matrix}$$

-
$$|\begin{matrix}
O&A\
B&O\
\end{matrix}|=(-1)^{mn}AB$$,m,n为方阵A,B的阶数

矩阵的秩!!!

A是m×n矩阵,P,Q分别为m,n阶可逆矩阵.有$r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)$
矩阵A和B等价有r(A)=R(B)
$r(kA)=r(A),k≠0$
$当A是m×n,B是n×s,r(AB)≤\min{r(A),r(B)}$
$当A是m×n,B是n×s,有AB=O时,则r(A)+r(B)≤n$
当A是m×n,B是m×s,则$\max{r(A),r(B)}\le r(A,B)\le r(A)+r(B)$
当A,B都是m,n矩阵,则$r(A+B)\le r(A,B)\le r(A)+r(B)$

$$
r(A^*) = \left{
\begin{aligned}
n&,r(A)=n\
1&,r(A)=n-1\
0&,r(A)\le n-1
\end{aligned}
\right.
$$

例题 $n阶矩阵A有A^2=A,证明r(A)+r(A-E)=n$
$A^2-A=0 \rightarrow A(A-E)=0 \rightarrow r(A)+r(A-E)\le n$
$r(A)+r(A-E) \ge r(A|A-E) \ge r(A-(A-E)) =0$

线性方程组

基本变量:选取基本变量首先要选取主元列:即单独把主元列提出形成子矩阵的秩=r(A)
方程组解的判定:
当r(A)=n时,$A_{m×n}x=0$只有零解唯一解就是零解
当r(A)<n时,$A_{m×n}x=0$有含n-r(A)个自由向量的无穷多组解
当r(A)=r(A|b)=n时,$A_{m×n}x=b$有唯一解
当r(A)=r(A|b)<n时,$A_{m×n}x=b$有含n-r(A)个自由向量的无穷多组解
当r(A)!=r(A|b),$A_{m×n}x=b$无解

线性相关/无关/表示

n维向量组无关$a_1,a_2…a_n\rightarrow |A|=0$
$\beta 能由a_1,a_2…a_n$线性表示$\rightarrow (a_1,a_2…a_n)(k_1,k_2…k_n)^T=\beta \rightarrow r(a_1,a_2…a_n)=r(a_1,a_2…a_n,\beta)$
包含零向量的向量组线性相关,两个成比例的向量线性相关
部分相关能推整体相关,整体无关能推部分无关
向量个数大于向量维度必有关
极大无关组所含向量的个数即为向量组的秩
向量组等价 ⟹ 秩相同
秩相同 + 互相线性表示 ⟺ 向量组等价
秩相同 ⟺ 矩阵等价
向量组A能由向量组B表示⟹ r(B)>r(A)

基础解系与解的结构

齐次线性方程组步骤:先化简成行最简矩阵,找主元列,其为主变量,剩下的是自由基.有n-r(A)个,自由基去正交底座,上面按位取反
例题:
$\begin{matrix}
1&0&1&1&3\
0&1&0&0&-2
\end{matrix}
$
取自由基 $\begin{matrix}1\0\0\end{matrix}$,$\begin{matrix}0\1\0\end{matrix}$,$\begin{matrix}0\0\1\end{matrix}$
有秩为2,$x_1,x_2$是主元列
所以基础解系是:$k_1\begin{matrix}-1\0\1\0\0\end{matrix}+k_2\begin{matrix}-1\0\0\1\0\end{matrix}+k_3\begin{matrix}-3\2\0\0\1\end{matrix}$
非齐次线性方程组步骤:列为(A|b),先把A化简成行最简矩阵,变换后的B就是通解
解的性质:
有$\eta_1,\eta_2都是Ax=b的解,有\eta_1-\eta_2是导出组Ax=0$
有$\eta_1,\eta_2…\eta_n都是Ax=b的解,$
$当k_1+k_2+…+k_n=1时,k_1\eta_1+k_2\eta_2+…+k_n\eta_n是Ax=b的解$
$当k_1+k_2+…+k_n=0时,k_1\eta_1+k_2\eta_2+…+k_n\eta_n是Ax=0的解$
判断是否为通解:先看齐次解是不是解,个数是否一致,是否线性无关再看非齐次相加是否为1

施密特正交

$$
\beta_1 = x_1\
\beta_2 = x_2 -\frac{(x_2,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1\
\beta_3 = x_3 -\frac{(x_3,\beta_2)}{(\beta_2,\beta_2)}\beta_2-\frac{(x_3,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1
$$

矩阵相似理论

特征值和特征向量的定义:有$Ax=\lambda x;称\lambda$是矩阵A的特征值,x是对应于特征值$\lambda$的特征向量
求特征值:$(\lambda E-A)x=0$
首先:有解,则$|\lambda E-A|!=0$,按照解出来的$\lambda$求对应的特征向量就好
特征值之和为矩阵A的迹,即对角线之和
特征值之积为矩阵A的行列式
求解特征方程$f(\lambda)=|\lambda E-A|$,得到n个根,n个根就是矩阵A的n个特征值,根的重数称之为代数重数

1
2
3

设特征多项式为 f(\lambda) = (\lambda - 3)^3 (\lambda + 1)：  
   - 根lambda = 3 出现 3 次，根lambda=3代数重数为（三重根） 
   - 根 lambda = -1出现 1 次，根lambda=1代数重数为1（单根）

$(\lambda E-A)x=0$所对应的基础解系有p个线性无关的向量,p为几何重数

矩阵	$A$	$kA+bE$	$A^k$	$f(A)$	$A^-{1}$	$A^*$	$P^{-1}AP$
特征值	$\lambda$	$k+b$	$\lambda^k$	$f(\lambda)$	$\frac{1}{\lambda}$	$\frac{\|A\|}{\lambda}$	$\lambda$
特征向量	x	x	x	x	x	x	$P^{-1}x$

$A^T$的特征值也是$\lambda$,但是特征向量需要重新计算
秩为1矩阵: $A=\alpha\beta^T;tr(A)=\alpha^T\beta$
矩阵相似,AB 有:
$|\lambda E-A|=|\lambda E-B|\rightarrow |A|=|B|;tr(A)=tr(B)$
有$r(A)=r(B);r(\lambda E-A)=r(\lambda E-B)$
$A^T$ ~ $B^T;A^{-1}$$B^{-1};f(A^{-1})$ ~ $f(B^{-1})$

矩阵相似对角化

定义:$A(a_1,a_2,a_3…a_n)=(\lambda_1a_1,\lambda_2a_2…\lambda_na_n)$当$a_1,a_2,a_3…a_n$线性无关,记$P=(a_1,a_2,a_3…a_n)$有$P^{-1}AP=\Lambda$

充要:A恰有n个线性无关的特征向量,即A每个特征值的几何重数等于其代数重数
充分:
有n个不同的特征值;
A为实对称矩阵
$A^2=A$
$A^2=E$
秩为一矩阵迹不为0,就可以相似对角化
必要:
$|A|=|\Lambda|$
$tr(A)=tr(\Lambda)$
$r(A)=r(\Lambda)$